Question

【题目】已知菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于一点 O，∠A=60°，将△BDC 沿着 BD 折起得△BDC'，连结 AC'．
（Ⅰ）求证：平面 AOC'⊥平面 ABD；
（Ⅱ）若点 C'在平面 ABD 上的投影恰好是△ABD 的重心，求直线 CD 与底面 ADC'所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵C′O⊥DB，AO⊥BD，C′O∩AO=O，∴BD⊥面 AOC'，

又BD平面 ABD，∴平面 AOC'⊥平面 ABD．

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，令AB=a，则A（ ，0，0）．

B（0， ，0），D（0，﹣ ，0），C′（ ），

设面ADC'的法向量为

， ，

由 可取

∴直线 CD 与底面 ADC'所成角的正弦值为：

【解析】（Ⅰ）只需证明C′O⊥DB，AO⊥BD，C′O∩AO=O，BD⊥面 AOC'，

即可得平面 AOC'⊥平面 ABD．（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，令AB=a，则A（ ，0，0）．

B（0， ，0），D（0，﹣ ，0），C′（ ），利用向量法求解．

【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角，需要了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能得出正确答案．