Question

如图所示，抛物线y²=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.

Answer 1

直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8.

由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.
由方程组,消去y,得x²+(2m－4)x+m²="0                    "         ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(2m－4)²－4m²=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)
设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)则x₁+x₂=4－2m，x₁·x₂=m²,
∴|MN|=4.
点A到直线l的距离为d=.
∴S_△=2(5+m),从而S_△²=4(1－m)(5+m)²
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()³=128.
∴S_△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8.