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5.已知x为△ABC中最小的角$\overrightarrow{a}$=(sin$\frac{3x}{2}$,1),$\overrightarrow{b}$=(cos$\frac{3x}{2}$,-$\frac{1}{2}$).
(1)若$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$,求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|.
(2)求函数f(x)=$\overrightarrow{a}$•($\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$)的值域.

分析 (1)由x为三角形最小角可得0$<x≤\frac{π}{3}$,然后利用向量垂直列出方程解出x,代入向量坐标求出;
(2)化简得f(x)=sin2$\frac{3x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{3x}{2}$+$\frac{3}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin(3x+$\frac{π}{4}$)+2.然后根据x的范围结合正弦函数的性质求出最值.

解答 解:(1)∵x为△ABC中最小的角,∴0$<x≤\frac{π}{3}$,
∵$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$,∴sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2}$=0,即sin3x=1.
∴3x=$\frac{π}{2}$,即x=$\frac{π}{6}$.
∴$\overrightarrow{a}$=($\frac{\sqrt{2}}{2}$,1),$\overrightarrow{b}$=($\frac{\sqrt{2}}{2}$.-$\frac{1}{2}$).
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=($\sqrt{2}$,$\frac{1}{2}$),∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=$\frac{3}{2}$.
(2)$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=(sin$\frac{3x}{2}$-cos$\frac{3x}{2}$,$\frac{3}{2}$),
∴f(x)=$\overrightarrow{a}$•($\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$)=sin$\frac{3x}{2}$(sin$\frac{3x}{2}$-cos$\frac{3x}{2}$)+$\frac{3}{2}$=sin2$\frac{3x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{3x}{2}$+$\frac{3}{2}$
=$\frac{1-cos3x}{2}-\frac{1}{2}sin3x+\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$sin3x-$\frac{1}{2}$cos3x+2=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin(3x+$\frac{π}{4}$)+2.
∵x∈(0,$\frac{π}{3}$],∴3x+$\frac{π}{4}$∈($\frac{π}{4}$,$\frac{5π}{4}$],
∴当3x$+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时,f(x)取得最小值2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
当3x$+\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$时,f(x)取得最大值$\frac{5}{2}$.
∴f(x)的值域是[2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{5}{2}$].

点评 本题考查了平面向量的数量积运算及三角函数的恒等变换,求出x的范围是关键.

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