Question

对数列{a_n}，规定{Va_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中Va_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．对正整数k，规定{V^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中V^ka_n=V^k-1a_n+1-V^k-1a_n=V（V^K-1a_n）（规定V⁰a_n=a_n）．
（Ⅰ）已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²+n（n∈N^*），是判断{Va_n}是否为等差数列，并说明理由；
（Ⅱ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足V²a_n-Va_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意：△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²+（n+1）-（n²+n）=2n+2，所以△a_n+1-△a_n=2．由此能够判断{△a_n}是等差数列．
（Ⅱ）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，知△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，所以△a_n-a_n=2ⁿ．由此入手能够求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²+（n+1）-（n²+n）=2n+2 …（4分）
则△a_n+1-△a_n=2，
所以△a_n是首项为4，公差为2的等差数列．…（6分）
（Ⅱ）△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，即△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ
而△a_n=a_n+1-a_n，所以a_n+1-2a_n=2ⁿ，∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

，（6分）
∴数列{

an

2n

}构成以

1

2

为首项，

1

2

为公差的等差数列，
即

an

2n

=

n

2

⇒a_n=n•2^n-1．（7分）

点评：本题以新定义为载体，第（Ⅰ）题考查等差数列的判断，解题时要注意等差数列性质的合理运用；第（Ⅱ）题考查数列通项公式的求解方法，解题时要注意构造法的合理运用．