Question

设函数．

（I）证明：是函数在区间上递增的充分而不必要的条件；

（II）若时，满足恒成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（I）见解析（II）

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）利用是函数在区间上递增的充分而不必要的条件，分为两步来证明先证明充分性，再证明不必要性。

（2）求解导数分析导数为零的点，然后借助于导数为正或者为负数时的解集，得到单调增减区间，进而判定函数的极值，得到函数的最值，进而求解参数的范围。

解：（1）对函数求导，得  ，      …………2分

先证充分性：若，，，

 函数在区间上递增.                            ……………4分

再说明非必要性:在区间上递增， ∴对1<x<2恒成立

由得，，而，

所以，即                             …………5分

所以，是函数在区间上递增的充分而不必要的条件 ……7分

（2） ，令，得  

 显然，时不符合题意. …………8分

 当时，函数在（）上递增，在上递减，

若时，恒成立，需=6

 ，得.                …………………10分

  当时，函数在（）上递增，在上递减，

 此时，，如满足恒成立，

需得  …………12分

故若时，满足恒成立，实数

                               ------------------------------14分