Question

一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．

Answer 1

分析：首先分析题目求在取得正品之前已取出次品数的期望，需要求得在取得正品之前已取出次品数的分布，故需要分类讨论取出次品数分布为0，1，2，3的概率，再由期望公式即可求得结果．

解答：解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3
当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则
P（ξ=0）=

9

12

=

3

4

当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则
P（ξ=1）=

3

12

×

9

11

=

9

44

当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则
P（ξ=2）=

3

12

×

2

11

×

9

10

=

9

220

当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则
P（ξ=3）=

3

12

×

2

11

×

1

10

×

9

9

=

1

220

所以，Eξ=0×

3

4

+1×

9

44

+2×

9

220

+3×

1

220

=

3

10

点评：此题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及学生在实际问题的求解能力，需要分类讨论，属于中档题目．