【题目】如图所示,在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,,,,点E为AD的中点,,平面ABCD,且
(1)求证:;
(2)线段PC上是否存在一点F,使二面角的余弦值是?若存在,请找出点F的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见证明;(2)见解析
【解析】
(1)由题意,证得,再由线面垂直的性质,证得,利用线面垂直的判定定理,即可证得平面PEC,进而得到.
(2)由(1)建立以H为坐标原点,HB、HC、HP所在直线分别为x,y,z轴的坐标系,由与共线,得,再求得平面CPD和平面CPD的一个法向量,利用向量的夹角公式即可求解.
证明:(1)∵,,
∴,,
E为AD的中点,,
≌,,
,
,
,平面ABCD,平面ABCD,,
又,且PH,平面PEC,平面PEC,
又平面PEC,.
解:(2)由(1)可知∽,
由题意得,,
,,,,,
、EC、BD两两垂直,建立以H为坐标原点,HB、HC、HP所在直线分别为x,y,z轴的坐标系,
,,,,,
假设线段PC上存在一点F满足题意,
与共线,
∴存在唯一实数,,满足,解得,
设向量为平面CPD的一个法向量,
且,,
∴,取,得,
同理得平面CPD的一个法向量,
∵二面角的余弦值是,
∴,
由,解得
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【题目】总体由编号为01,02,03,,49,50的50个个体组成,利用随机数表(以下选取了随机数表中的第1行和第2行)选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,则选出来的第4个个体的编号为( )
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 |
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 |
A. 05 B. 09 C. 07 D. 20
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【题目】某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.
(Ⅰ)若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?
(Ⅱ)在(Ⅰ)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意任取2人,求至少有一名男生的概率.
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【题目】已知抛物线,直线与E交于A、B两点,且,其中O为原点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)点C坐标为,记直线CA、CB的斜率分别为,证明: 为定值.
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【题目】(本小题满分12分)已知椭圆()的半焦距为,原点到经过两点,的直线的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)如图,是圆的一条直径,若椭圆经过,两点,求椭圆的方程.
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【题目】定义:如果一个数列从第二项起,后一项与前一项的和相等且为同一常数,这样的数列叫“等和数列”,这个常数叫公和.给出下列命题:
①“等和数列”一定是常数数列;
②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”,则这个数列一定是常数列;
③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”,则这个数列一定是常数列;
④数列是“等和数列”且公和,则其前项之和;
其中,正确的命题为__________.(请填出所有正确命题的序号)
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