Question

自“钓鱼岛事件”，中日关系日趋紧张，不断升级．为了积极响“保钓行动”，学校举办了一场保钓知识大赛，共分两组．其中甲组满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的同学中，每组各任选2个同学，作为保钓行动代言人．
（1）求选出的4个同学中恰有1个女生的概率；
（2）设X为选出的4个同学中女生的个数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1为女同学”为事件A，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；甲组内选出的2个同学中1个是男同学，1个为女同学”为事件B，求得P（A），P（B），进而可得P（A+B）；（2）可得X可能的取值为0，1，2，3，分别可得其概率，可得分布列，可得期望．

解答：解：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1为女同学”为事件A，
“从乙组内选出的2个同学均为男同学；甲组内选出的2个同学中1个是男同学，1个为女同学”为事件B，
由于事件A?B互斥，且P（A）=

C 2 3 C 1 2 C 1 4

C 2 4 C 2 6

=

4

15

，P（B）=

C 1 3 C 2 4

C 2 4 C 2 6

=

1

5

，
∴选出的4个同学中恰有1个女生的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）=

4

15

+

1

5

=

7

15

…（5分）
（2）由题意可知：X可能的取值为0，1，2，3，
由（1）可得：P（X=0）=

1

5

，P（X=1）=

7

15

，P（X=2）=

3

10

，P（X=3）=

1

30

∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	1 5	7 15	3 10	1 30

…（10分）
∴X的数学期望：EX=

7

15

+2×

3

10

+3×

1

30

=

7

6

  …（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，涉及排列组合公式的应用，属中档题．