Question

1．已知数列{a_n}满足下列条件，求通项公式：
（1）a₁=3，a₂=6，a_n+2=4a_n+1-4a_n；
（2）a₁=3，a₂=6，a_n+2=2a_n+1+3a_n．

Answer 1

分析 （1）由已知数列递推式可得数列{a_n}是以3为首项，以2为公比的等比数列，由此求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由已知数列递推式可得，数列{a_n+1+a_n}是以9为首项，以3为公比的等比数列，求出其通项公式后，进一步对n为偶数和奇数利用累加法求通项公式．

解答 解：（1）由a_n+2=4a_n+1-4a_n，得
a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
∵a₁=3，a₂=6，∴a₂-2a₁=0，
则a_n+2-2a_n+1=0，即a_n+2=2a_n+1，
又a₂=2a₁，
∴数列{a_n}是以3为首项，以2为公比的等比数列，
则${a}_{n}=3•{2}^{n-1}$；
（2）由a_n+2=2a_n+1+3a_n，得a_n+2+a_n+1=3（a_n+1+a_n），
∵a₁=3，a₂=6，∴a₂+a₁=9≠0，
∴$\frac{{a}_{n+2}+{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}=3$，
则数列{a_n+1+a_n}是以9为首项，以3为公比的等比数列，
∴${a}_{n+1}+{a}_{n}=9•{3}^{n-1}={3}^{n+1}$．
∴${a}_{n+2}+{a}_{n+1}={3}^{n+2}$．
则${a}_{n+2}-{a}_{n}=2•{3}^{n+1}$．
当n为奇数时，
${a}_{3}-{a}_{1}=2•{3}^{2}$，${a}_{5}-{a}_{3}=2•{3}^{4}$，${a}_{7}-{a}_{5}=2•{3}^{6}$，…，${a}_{n}-{a}_{n-2}=2•{3}^{n-1}$（n≥2）．
累加得：${a}_{n}=3+2（{3}^{2}+{3}^{4}+…+{3}^{n-1}）=3+2•\frac{9（1-{9}^{\frac{n-1}{2}}）}{1-9}$=$\frac{3}{4}（{3}^{n}+1）$，
验证n=1时上式成立；
当n为偶数时，
${a}_{4}-{a}_{2}=2•{3}^{3}$，${a}_{6}-{a}_{4}=2•{3}^{5}$，${a}_{8}-{a}_{6}=2•{3}^{7}$，…，${a}_{n}-{a}_{n-2}=2•{3}^{n-1}$（n≥2）．
累加得：${a}_{n}=6+2（{3}^{3}+{3}^{5}+…+{3}^{n-1}）$=$6+2•\frac{27（1-{9}^{\frac{n-2}{2}}）}{1-9}$=$\frac{3}{4}（{3}^{n}-1）$．
综上，${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}（{3}^{n}+1），n为正奇数}\\{\frac{3}{4}（{3}^{n}-1），n为正偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．