Question

已知数列中,,其前项和满足:,令
.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 若,求证:;
(3) 令,问是否存在正实数同时满足下列两个条件?
①对任意,都有；
②对任意的,均存在,使得当时总有.
若存在,求出所有的; 若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1) .   (2)略   (3)存在正实数符合题意.

本试题主要是考查了数列的求和和数列的通项公式的运用，不等式的证明。
（1）由得
即,移项得,
∴,这个等式叠加可得
可得结论，
（2）由(1)知,
又, ∴故相加得证。
（3）当时,
,
∴.
由2)知,即, 而此时，可见存在实数a=2满足题意