Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（1）证明BE⊥DC；
（2）求二面角E-AB-P的值；
（3）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）如图所示，建立空间直角坐标系，只要证明$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DC}$=0，即可得出$\overrightarrow{BE}$⊥$\overrightarrow{DC}$．
（2）设平面ABE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，可得取$\overrightarrow{n}$，取平面PAB的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），设二面角E-AB-P的平面角为θ，利用cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．
（3）$\overrightarrow{BD}$=（-2，-1，0），$\overrightarrow{BP}$=（0，-1，2），设平面PBD的法向量为$\overrightarrow{u}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，即可得出$\overrightarrow{u}$，设直线BE与平面PBD所成角的为α，利用sinα=|cos$＜\overrightarrow{u}，\overrightarrow{BE}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{BE}|}$即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（0，1，0），P（0，0，2），C（-2，2，0），D（-2，0，0），E（-1，1，1），
∴$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DC}$=0，
∴$\overrightarrow{BE}$⊥$\overrightarrow{DC}$，
∴BE⊥DC．
（2）解：$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0），
设平面ABE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{-x+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
取平面PAB的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角E-AB-P的平面角为θ，
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由图可知：二面角E-AB-P的平面角θ为锐角，
∴$θ=\frac{π}{4}$．
（3）解：$\overrightarrow{BD}$=（-2，-1，0），$\overrightarrow{BP}$=（0，-1，2），
设平面PBD的法向量为$\overrightarrow{u}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，化为$\left\{\begin{array}{l}{-2x-y=0}\\{-y+2z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{u}$=（1，-2，-1），
设直线BE与平面PBD所成角的为α，
则sinα=|cos$＜\overrightarrow{u}，\overrightarrow{BE}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{u}•\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了通过建立空间直角坐标系求空间角、证明垂直，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．