Question

直线l与椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，已知

m

=（ax₁，by₁），

n

=（ax₂，by₂），若

m

⊥

n

且椭圆的离心率e=

3

2

，又椭圆经过点(

3

2

，1)，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率e=

3

2

，椭圆经过点(

3

2

，1)，建立方程组，可求几何量，从而可得椭圆的方程；
（2）分类讨论，再设直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及

m

⊥

n

，即可得到△AOB的面积为定值．

解答：解：（1）∵椭圆的离心率e=

3

2

，椭圆经过点(

3

2

，1)，
∴

e= c a = a2-b2 a = 3 2 1 a2 + 3 4b2 =1

，∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为

y2

4

+x2=1…（4分）
（2）三角形的面积为定值1
①当直线AB斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
由已知

m

•

n

=0，得4x12-y12=0，∴y12=4x12
又A（x₁，y₁）在椭圆上，所以x12+

4x12

4

=1，∴|x1|=

2

2

，|y1|=

2

∴S=

1

2

|x1||y1-y2|=

1

2

|x1|2|y1|=1，∴三角形的面积为定值．…（7分）
②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+t，联立方程组

y=kx+t y2 4 +x2=1

，∴（k²+4）x²+2ktx+t²-4=0
△＞0即4k²t²-4（k²+4）（t²-4）＞0，x1+x2=

-2kt

k2+4

，x1x2=

t2-4

k2+4

∵

m

⊥

n

，∴4x₁x₂+y₁y₂=0，∴4x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0，代入整理得：2t²-k²=4S=

1

2

|t|

1+k2

|AB|=

1

2

|t|

(x1+x2)2-4x1x1

=

|t| 4k2-4t2+16

k2+4

=

4t2

2|t|

=1
所以三角形的面积为定值． …（12分）

点评：本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．