Question

设数列{b_n}满足b_n＋2＝－b_n＋1－b_n(n∈N^*)，b₂＝2b₁.
(1)若b₃＝3，求b₁的值；
(2)求证数列{b_nb_n＋1b_n＋2＋n}是等差数列；
(3)设数列{T_n}满足：T_n＋1＝T_nb_n＋1(n∈N^*)，且T₁＝b₁＝－，若存在实数p，q，对任意n∈N^*都有p≤T₁＋T₂＋T₃＋…＋T_n＜q成立，试求q－p的最小值．

Answer 1

（1）b₁＝－1（2）见解析（3）

(1)∵b_n＋2＝－b_n＋1－b_n，
∴b₃＝－b₂－b₁＝－3b₁＝3，
∴b₁＝－1；(3分)
(2)∵b_n＋2＝－b_n＋1－b_n①，
∴b_n＋3＝－b_n＋2－b_n＋1②，
②－①得b_n＋3＝b_n，(5分)
∴(b_n＋1b_n＋2b_n＋3＋n＋1)－(b_nb_n＋1b_n＋2＋n)＝b_n＋1b_n＋2(b_n＋3－b_n)＋1＝1为常数，
∴数列{b_nb_n＋1b_n＋2＋n}是等差数列．(7分)
(3)∵T_n＋1＝T_n·b_n＋1＝T_n－1b_nb_n＋1＝T_n－2b_n－1b_nb_n＋1＝…＝b₁b₂b₃…b_n＋1
当n≥2时T_n＝b₁b₂b₂…b_n(*)，
当n＝1时，T₁＝b₁适合(*)式
∴T_n＝b₁b₂b₃…b_n(n∈N^*)．(9分)
∵b₁＝－，b₂＝2b₁＝－1，
b₃＝－3b₁＝，b_n＋3＝b_n，
∴T₁＝b₁＝－，T₂＝T₁b₂＝，
T₃＝T₂b₃＝，T₄＝T₃b₄＝T₃b₁＝T₁，
T₅＝T₄b₅＝T₂b₃b₄b₅＝T₂b₁b₂b₃＝T₂，
T₆＝T₅b₆＝T₃b₄b₅b₆＝T₃b₁b₂b₃＝T₃，
……
T_3n＋1＋T_3n＋2＋T_3n＋3＝T_3n－2b_3n－1b_3nb_3n＋1＋
T_3n－1b_3nb_3n＋1b_3n＋2＋T_3nb_3n＋1b_3n＋2b_3n＋3
＝T_3n－2b₁b₂b₃＋T_3n－1b₁b₂b₃＋T_3nb₁b₂b₃
＝ (T_3n－2＋T_3n－1＋T_3n)，
∴数列{T_3n－2＋T_3n－1＋T_3n)(n∈N^*)是等比数列，
首项T₁＋T₂＋T₃＝且公比q＝，(11分)记S_n＝T₁＋T₂＋T₃＋…＋T_n，
①当n＝3k(k∈N^*)时，
S_n＝(T₁＋T₂＋T₃)＋(T₄＋T₅＋T₆)…＋(T_3k－2＋T_3k－1＋T_3k)
＝，
∴≤S_n＜3；(13分)
②当n＝3k－1(k∈N^*)时
S_n＝(T₁＋T₂＋T₃)＋(T₄＋T₅＋T₆)＋…＋(T_3k－2＋T_3k－1＋T_3k)－T_3k
＝3－(b₁b₂b₃)^k＝3－4·∴0≤S_n＜3；(14分)
③当n＝3k－2(k∈N^*)时
S_n＝(T₁＋T₂＋T₃)＋(T₄＋T₅＋T₆)＋…＋(T_3k－2＋T_3k－1＋T_3k)－T_3k－1－T_3k
＝3－(b₁b₂b₃)^k－1b₁b₂－(b₁b₂b₃)^k
＝3－^k－1－^k＝3－·^k，
∴－≤S_n＜3.(15分)
综上得－≤S_n＜3则p≤－且q≥3，∴q－p的最小值为.(16分)