Question

7．如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥平面α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，M，N，Q分别是PA，PC，PB的中点．
（1）求证：平面MNQ∥平面α；
（2）若PA=AB=2，AC=CB求三棱锥A-CPB的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出MN∥平面α，NQ∥平面α．由此能证明平面MNQ∥平面α．
（2）三棱锥A-CPB的体积：V_A-CPB=V_P-ABC，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥平面α，
C为圆周上不同于A、B的任意一点，M，N，Q分别是PA，PC，PB的中点，
∴MN∥AC，
∵MN?平面α，AC?平面α，∴MN∥平面α，
同理可证NQ∥平面α．
∵MN?平面MNQ，NQ?平面MNQ，且MN∩NQ=N，
∴平面MNQ∥平面α．
（2）∵PA=AB=2，AC=CB，∴AC=CB=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$，
∴三棱锥A-CPB的体积：V_A-CPB=V_P-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{ABC}×PA$=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．