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过原点O的直线l与椭圆C:数学公式交于M,N两点,P是椭圆C上异于M,N的任一点.若直线PM,PN的斜率之积为数学公式,则椭圆C的离心率为________.


分析:设点的坐标,表示出直线PM,PN的斜率,利用直线PM,PN的斜率之积为,结合点差法,化简,即可求得离心率.
解答:设P(x,y),M(m,n),N(-m,-n),则直线PM,PN的斜率分别为
∵直线PM,PN的斜率之积为,∴,∴
∵M,P是椭圆C上的点

两式相减可得


∴a=2b,∴=b
∴e==
故答案为:
点评:本题考查椭圆的几何性质,考查点差法的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•怀化三模)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(
3
3
2
)
,离心率e=
1
2
,若点M(x0,y0)在椭圆C上,则点N(
x0
a
y0
b
)
称为点M的一个“椭点”,直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“椭点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的右顶点为D,上顶点为E,试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系,并证明.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•浦东新区三模)已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍,其左、右焦点依次为F1、F2,抛物线M:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于F1,椭圆C与抛物线M的一个交点为P.
(1)当m=1时,求椭圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,直线l过焦点F2,与抛物线M交于A、B两点,若弦长|AB|等于△PF1F2的周长,求直线l的方程;
(3)由抛物线弧y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)
和椭圆弧
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
(
2m
3
≤x≤2m)

(m>0)合成的曲线叫“抛椭圆”,是否存在以原点O为直角顶点,另两个顶点A1、A2落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA1A2,若存在,求出两直角边所在直线的斜率;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源:2013年湖南省怀化市高考数学三模试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

已知椭圆过点,离心率,若点M(x,y)在椭圆C上,则点称为点M的一个“椭点”,直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“椭点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的右顶点为D,上顶点为E,试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系,并证明.

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科目:高中数学 来源:2013年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

已知椭圆过点,离心率,若点M(x,y)在椭圆C上,则点称为点M的一个“椭点”,直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“椭点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的右顶点为D,上顶点为E,试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系,并证明.

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科目:高中数学 来源:2011年上海市浦东新区高考数学三模试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍,其左、右焦点依次为F1、F2,抛物线M:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于F1,椭圆C与抛物线M的一个交点为P.
(1)当m=1时,求椭圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,直线l过焦点F2,与抛物线M交于A、B两点,若弦长|AB|等于△PF1F2的周长,求直线l的方程;
(3)由抛物线弧y2=4mx和椭圆弧
(m>0)合成的曲线叫“抛椭圆”,是否存在以原点O为直角顶点,另两个顶点A1、A2落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA1A2,若存在,求出两直角边所在直线的斜率;若不存在,说明理由.

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