【题目】如图,在直三棱柱中,AB=BC,D、E分别为
的中点.
(1)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线段;
(2)设AB=1, ,求二面角A1—AD—C1的大小.
【答案】(1)见解析;(2)60°.
【解析】试题分析:(1)设为
中点,连接
,先证明
是平行四边形,再证明
平面
,从而可得
平面
,可得
与直线
与
都垂直且相交,进而可得结论;(2)连接
作
,垂足为
,连接
,根据二面角的平面角定义可知
为二面角
的平面角,在直角三角形
中求出正切值即可得结果.
试题解析:(Ⅰ) 设O为AC中点,连接EO,BO,则EOC1C,又C1C
B1B,所以EO
DB,EOBD为平行四边形,ED∥OB.
∵AB=BC,∴BO⊥AC,
又平面ABC⊥平面ACC1A1,BO面ABC,故BO⊥平面ACC1A1,
∴ED⊥平面ACC1A1,BD⊥AC1,ED⊥CC1,
∴ED⊥BB1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.
解:(Ⅱ)连接A1E,由AB=1,AA1=AC=可知,A1ACC1为正方形,
∴A1E⊥AC1,又由ED⊥平面ACC1A1和ED平面ADC1知平面
ADC1⊥平面A1ACC1,∴A1E⊥平面ADC1.作EF⊥AD,垂足为F,连接A1F,则A1F⊥AD,∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角.
由已知AB=ED=1, AA1=AC=
,∴
AE=A1E=1,
EF==
,
tan∠A1FE==
,∴∠A1FE=60°.
所以二面角A1-AD-C1为60°.
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【题目】针对国家提出的延迟退休方案,某机构进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示:
支持 | 保留 | 不支持 | |
| |||
|
(1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取个人,已知从持“不支持”态度的人中抽取了
人,求
的值;
(2)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取人看成一个总体,从这
人中任意选取
人,求
岁以下人数
的分布列和期望;
(3)在接受调查的人中,有人给这项活动打出的分数如下:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,把这
个人打出的分数看作一个总体,从中任取一个数,求该数与总体平均数之差的绝对值超过
概率.
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【题目】已知函数,
R.
(1)证明:当时,函数
是减函数;
(2)根据的不同取值,讨论函数
的奇偶性,并说明理由;
(3)当,且
时,证明:对任意
,存在唯一的
R,使得
,且
.
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【题目】已知f(x)=,g(x)=x+
+a,其中a为常数.
(1)若g(x)≥0的解集为{x|0<x或x≥3},求a的值;
(2)若x1∈(0,+∞),x2∈[1,2]使f(x1)≤g(x2)求实数a的取值范围.
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【题目】已知椭圆的两个焦点分别为
和
,过点
的直线与椭圆相交于
两点,且
,
。
(1)求椭圆的离心率;
(2)设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点
在
的外接圆上,求
的值
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【题目】(多选)某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个班,每班45人.甲就读于高一,乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法中正确的有( )
A.应该采用分层随机抽样法
B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C.乙被抽到的可能性比甲大
D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
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【题目】对于定义域为的函数
,若同时满足下列三个条件:①
;② 当
,且
时,都有
;③ 当
,且
时,都有
, 则称
为“偏对称函数”.现给出下列三个函数:
;
;
则其中是“偏对称函数”的函数个数为
A. B.
C.
D.
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