Question

如图，A，B两点的坐标分别为（-2，0），（2，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是

3

4

．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（ 2）是否存在斜率为l直线l与曲线C交于P，Q两点，且使△OPQ的面积等于

12

7

？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出M的坐标，利用直线AM，BM的斜率之积是

3

4

，建立方程，即可得到点M的轨迹C的方程；
（2）设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及△OPQ的面积等于

12

7

，建立方程，即可求得结论．

解答：解：（1）设M（x，y），则由条件可得

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

整理可得

x2

4

+

y2

3

=1(x≠±2)；
（2）假设存在满足条件的直线l，其方程为y=x+m，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
直线方程代入椭圆方程，消去y可得7x²+8mx+4m²-12=0
∴x₁+x₂=-

8m

7

，x1x2=

4m2-12

7

由△=64m²-28（4m²-12）＞0可得m²＜7
∴|PQ|=

2(x1-x2)2

=

4 2

7

×

21-3m2

∵圆的O到直线l的距离d=

|m|

2

∴

1

2

×

4 2

7

×

21-3m2

×

|m|

2

=

12

7

∴m=±

3

或m=±2，满足m²＜7
∴存在满足条件的直线l，其方程为y=x±

3

或y=x±2．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．