Question

11．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点（1，e）和$（e，\frac{{\sqrt{21}}}{5}）$都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设a＞2，B₁，B₂分别是线段OF₁，OF₂的中点，过点B₁作直线交椭圆于P，Q两点．若PB₂⊥QB₂，求△PB₂Q的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将（1，e）和$（e，\frac{{\sqrt{21}}}{5}）$代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由a＞2，求得椭圆的方程，设PQ方程为x=my-1，代入椭圆方程，则由PB₂⊥QB₂，$\overrightarrow{{B_2}P}•\overrightarrow{{B_2}Q}={x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1+{y_1}{y_2}=0$，利用韦达定理求得：m²=4，利用弦长公式及三角形的面积公式△PB₂Q的面积．…（14分）

解答 解：（Ⅰ）因为（1，e）和$（e，\frac{{\sqrt{21}}}{5}）$在椭圆上，且$e=\frac{c}{a}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a^2}+\frac{c^2}{{{a^2}{b^2}}}=1…（1）\\ \frac{c^2}{{{a^2}{a^2}}}+\frac{21}{{25{b^2}}}=1…（2）\end{array}\right.$，…（2分）
由（1）得b²=1，…（3分）
带入（2）整理得4a⁴-25a²+25=0，解得a²=5或${a^2}=\frac{5}{4}$，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$，或者$\frac{{4{x^2}}}{5}+{y^2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c²=5-1=4，
∴F₁（-2，0），F₂（2，0），B₁（-1，0），B₂（1，0）．…（6分）
由题意知PQ的斜率不为0，设PQ方程为x=my-1，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{5}+{y^2}=1\\ x=my-1\end{array}\right.⇒（{m^2}+5）{y^2}-2my-4=0$，…（7分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由韦达定理得${y_1}+{y_2}=\frac{2m}{{{m^2}+5}}，{y_1}•{y_2}=\frac{-4}{{{m^2}+5}}$…（8分）
∵$\overrightarrow{{B_2}P}=（{x_1}-1，{y_1}），\overrightarrow{{B_2}Q}=（{x_2}-1，{y_2}）$，且PB₂⊥QB₂，
则$\overrightarrow{{B_2}P}•\overrightarrow{{B_2}Q}={x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1+{y_1}{y_2}=0$，…（10分）
∴（my₁-1）（my₂-1）-（my₁-1+my₂-1）+1+y₁y₂，
=（m²+1）y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4，
=$\frac{-4{m}^{2}-4-4{m}^{2}+4{m}^{2}+20}{{m}^{2}+5}$，
∴m²=4，…（12分）
∴$|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\sqrt{\frac{160}{81}}$，
∴$|{y_1}-{y_2}|=\frac{{4\sqrt{10}}}{9}$，
∴${S_△}_{P{B_2}Q}=\frac{1}{2}|{B_1}{B_2}||{y_1}-{y_2}|=\frac{{4\sqrt{10}}}{9}$．…（14分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．