Question

【题目】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1 ， M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．
（Ⅰ）若DE∥平面A1MC1 ， 求 ；
（Ⅱ）求直线BG和平面A1MC1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取BC中点N，连结MN，C1N， ∵M，N分别为AB，CB中点
∴MN∥AC∥A1C1 ，
∴A1 ， M，N，C1四点共面，
且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，
又DE∩平面BCC1B1 ，
且DE∥平面A1MC1 ， ∴DE∥C1N，
∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点，
∴ = ．
（Ⅱ）连结B1M，
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1 ，
∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，
又A1C1⊥平面ABB1A1 ，
∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1
∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，
∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，
又B1C1∥BC，
∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角
设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形
∴A1M=A1C1= ，则MC1=2，B1C1= ，
∴cos∠B1C1M= ，∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）取BC中点N，连结MN，C1N，由已知得A1 ， M，N，C1四点共面，由已知条件推导出DE∥C1N，从而求出 ．（Ⅱ）连结B1M，由已知条件得四边形ABB1A1为矩形，B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，由此能求出直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．