解:(1)若a=1,b=-1,则f(x)=(x
2+x-1)e
x有f'(x)=(2x+1)e
x+(x
2+x-1)e
x=e
x(x
2+3x)
令f'(x)=0得x
1=-3,x
2=0(1分)
∵当x∈(-∞,-3)时f'(x)>0,当x∈(-3,0)时f'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0
∴当x=-3时,函数f(x)有极大值,
,(2分)
当x=0时,函数f(x)有极小值,f(x)
极小值=f(0)=-(13分)
(2)∵2a+b=-3即b=-2a-3
又f'(x)=(2x+a)e
x+(x
2+ax+b)e
x=e
x[x
2+(2+a)x+(a+b)]
∴f'(x)=e
x[x
2+(2+a)x+(-3-a)]=e
x(x-1)[x+(3+a)](5分)
当-3-a=1即a=-4时,f'(x)=e
x(x-1)
2≥0
∴函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;(6分)
当-3-a>1,即a<-4时,由f'(x)>0得x>-3-a或x<1,
由f'(x)<0得1<x<-3-a;(7分)
当-3-a<1,即a>-4时,由f'(x)>0得x<-3-a或x>1,
由f'(x)<0得-3-a<x<1;(8分)
综上得:当a=-4时,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
当a<-4时,函数f(x)在(-∞,1)和(-3-a,+∞)上单调递增,在(1,-3-a)上单调递减-(9分)
当a>-4时,函数f(x)在(-∞,-3-a)和(1,+∞)上单调递增,在(-3-a,1)上单调递减.(10分)
(3)根据题意
=|x
2+ax+b|,
∵g(x)在[-1,1]上的最大值为M,
∴g(-1)≤M,g(0)≤M,g(1)≤M
即|1-a+b|≤M,|b|≤M,|1+a+b|≤M(12分)
2=|(1-a+b)+(1+a+b)-2b|≤|1-a+b|+|1+a+b|+|2b|≤4M
∴
(17分)(其它解法请参照给分)
分析:(1)先把a=1,b=-1代入函数解析式,再研究f′(x)的符号,利用导数求解f(x)在R上的极值问题即可.
(2)先对函数y=f(x)进行求导,然后令导函数大于0(或小于0)求出x的范围,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间,即可得到答案.
(3)先根据题意
=|x
2+ax+b|,及g(x)在[-1,1]上的最大值为M,得到:g(-1)≤M,g(0)≤M,g(1)≤M再结合绝对值不等式的性质即可求得
.
点评:本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及函数单调区间等有关基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.研究单调性的关键是导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.