Question

已知函数f(x)=mx3-

1

3

x的图象上，以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

π

4

，
（1）求m，n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1999对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；
（3）求证：|f(sinx)+f(cosx)|＜f(t+

1

2t

)(x∈R，t＞0)．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=mx³-

1

3

x，可求出f'（x）的解析式，根据以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

π

4

，构造方程可以求出m的值，进而求出n值，
（2）由（1）中结论，我们可以求出函数的解析式，由于f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立，
我们可以求出x∈[-1，3]的最大值，进而确定满足条件的k值；
（3）根据（1）中函数的解析式，根据三角函数的值域和基本不等式，我们分别求出|f（sinx）+f（cosx）|的最大值和 f(t+

1

2t

)的最小值，对比后即可得到答案．

解答：解：（1）f'（x）=3mx²-

1

3

，
依题意，得f'（1）=tan

π

4

，即3m-

1

3

=1，m=

4

9

．…（2分）
∵f（1）=n，∴n=

1

9

．…（3分）
（2）f(x)=

4

9

x3-

1

3

x，令f'（x）=

4

3

x²-

1

3

=0，得 x=±

1

2

．…（4分）
当 -1＜x＜-

1

2

时，f'（x）＞0；
当 -

1

2

＜x＜ 

1

2

时，f'（x）＜0；
当

1

2

＜x＜3时，f'（x）＞0．
∵x∈[-1，3]时，k-1999≥f（x）_max=11
∴k≥2010∴存在最小的正整数k=2010，
使得不等式f（x）≤k-1999对于x∈[-1，3]恒成立；…（9分）
（3）|f（sinx）+f（cosx）|=|(

4

9

sin3x-

1

3

sinx)+(

4

9

cos3x-

1

3

cosx)|=|

4

9

(sin3x+cos3x)-

1

3

(sinx+cosx)|=|(sinx+cosx)[

4

9

(sin2x-sinxcosx+cos2x)-

1

3

]|=

2

9

|sinx+cosx|3≤

2

9

…（11分）
又∵t＞0，∴t+

1

2t

≥

2

，t2+

1

4t2

≥1．
∴f(t+

1

2t

)=[

4

9

(t+

1

2t

)3-

1

3

(t+

1

2t

)]=(t+

1

2t

)[

4

9

(t2+

1

4t2

)-

1

9

]≥

2

9

．…（13分）
综上可得，|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+

1

2t

)（x∈R，t＞0）．…（14分）

点评：本题考查的知识点是不等式的证明，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，直线的倾斜角，其中根据已知条件，求出函数的解析式，并分析出函数的性质是解答本题的关键．