已知f对于任何实数x.y都成立.,的值,为奇函数. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知f(x+y)=f(x)+f(y)对于任何实数x，y都成立，
（1）求证：f(2x)=2f(x)；
（2）求f(0)的值；
（3）求证：f(x)为奇函数。

（1）证明：令y=x，得f(2x)= f(x)+ f(x)= 2f(x)；
（2）解：令x=y=0，得f(0)=f(0)+ f(0)，f(0)=0；
（3）证明：令y=-x，得f(0)= f(x)+ f(-x)=0，f(-x)=-f(x)，
所以，f(x)为奇函数。

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相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

有下列几个命题：
①函数y=

x+1

在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；
②已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
③已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x(1+

3	x

)，则当x＜0时，f(x)=-x(1-

3	x

)；
④已知定义在R上函数f（x）满足对?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，则f（x）是R上的增函数；⑤如果a＞1，则函数f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点．
其中正确命题的序号是

．（写出全部正确结论的序号）

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科目：高中数学 来源： 题型：

给出下列四个命题：
①已知f(x)+2f(

)=3x，则函数g（x）=f（2^x）在（0，1）上有唯一零点；
②对于函数f(x)=x

的定义域中任意的x₁、x₂（x₁≠x₂）必有f(

x1+x2

)＜

f(x1)+f(x2)

；
③已知f（x）=|2^-x+1-1|，a＜b，f（a）＜f（b），则必有0＜f（b）＜1；
④已知f（x）、g（x）是定义在R上的两个函数，对任意x、y∈R满足关系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0时f（x）•g（x）≠0．则函数f（x）、g（x）都是奇函数．
其中正确命题的序号是

①③

．

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科目：高中数学 来源： 题型：

(1)已知函数f(x)=x²,g(x)为一次函数，且为增函数，若f［g(x)］=4x²-20x+15,求g(x)的解析式;

(2)已知af(x)+bf()=cx(a、b、c∈R,ab≠0,a²≠b²),求f(x);