Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{6}$=0）且不垂直于x轴直线l椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取值范围；
（Ⅲ）若B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率得到a，b的关系式${a}^{2}=\frac{4}{3}{b}^{2}$，由原点到直线x-y+$\sqrt{6}$=0的距离求得b，则a可求，椭圆方程可求；                           
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4），联立直线方程与椭圆方程，由△＞0得k的范围，利用根与系数的关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，结合k的范围可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取值范围；                                   
（Ⅲ）由B、E两点关于x轴对称，得到E（x₂，-y₂），写出直线AE的方程，求出直线在x轴上的截距x=1，则可说明直线AE与x轴交于定点（1，0）．

解答 （Ⅰ）解：由题意知$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，即${a}^{2}=\frac{4}{3}{b}^{2}$，
又$b=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1+1}}=\sqrt{3}$，∴a²=4，b²=3，
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；                           
（Ⅱ）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得：（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0．
由△=（-32k²）²-4（4k²+3）（64k²-12）＞0得：${k}^{2}＜\frac{1}{4}$．
设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$　　①
∴y₁y₂=k（x₁-4）k（x₂-4）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-4{k}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+16{k}^{2}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（1+{k^2}）\frac{{64{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}-4{k^2}•\frac{{32{k^2}}}{{4{k^2}+3}}+16{k^2}=25-\frac{87}{{4{k^2}+3}}$，
∵$0≤{k}^{2}＜\frac{1}{4}$，∴$-\frac{87}{3}≤\frac{87}{4{k}^{2}+3}＜-\frac{87}{4}$，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}∈[-4，\frac{13}{4}）$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围是$[-4，\frac{13}{4}）$；                                   
（Ⅲ）证明：∵B、E两点关于x轴对称，∴E（x₂，-y₂），
直线AE的方程$y-{y_1}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（x-{x_1}）$，令y=0，得$x={x_1}-\frac{{{y_1}（{x_1}-{x_2}）}}{{{y_1}+{y_2}}}$，
又y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），
∴$x=\frac{{2{x_1}{x_2}-4（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}-8}}$，
将①代入上式并整理得：x=1，
∴直线AE与x轴交于定点（1，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系求解，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是压轴题．