Question

已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3-x）=f（x），且有最小值是

7

4

．g（x）=2x+m．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 求函数h（x）=f（x）-（2t-3）x在区间[0，1]上的最小值，其中t∈R；
（Ⅲ）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[p，q]上的两个函数，若函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈[p，q]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[p，q]上是“关联函数”，区间[p，q]称为“关联区间”．若f（x）与g（x）在[0，3]上是“关联函数”，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题知，可设f（x）=a (x-

3

2

)2+

7

4

，根据图象过点（0，4），求得a=1的值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）由于h（x）=（x-t）²+4-t²，其对称轴为x=t．分①当t≤0时、②当0＜t＜1时、③当t≥1时三种情况，分别利用单调性求得函数的最小值．
（Ⅲ）由题意可得函数F（x）=x²-5x+4-m在[0，3]上有两个不同的零点，由

△=(-5)2-4(4-m)＞0 F(0)=02-5×0+4-m F(3)=32-5×3+4-m

，求得m的范围．

解答：解：（Ⅰ）由题知，二次函数图象的对称轴为x=

3

2

，又最小值是

7

4

，
则可设f（x）=a (x-

3

2

)2+

7

4

，又图象过点（0，4），
则a (0-

3

2

)2+

7

4

=4，解得a=1，
故f（x）=(x-

3

2

)2+

7

4

=x²-3x+4．
（Ⅱ）h（x）=f（x）-（2t-3）x=x²-2tx+4=（x-t）²+4-t²，其对称轴为x=t．
①当t≤0时，函数在[0，1]上单调递增，最小值为h（0）=4；
②当0＜t＜1时，函数的最小值为h（n）=4-t²；
③当t≥1时，函数在[0，1]上单调递减，最小值为h（1）=5-2t．
（Ⅲ）若函数f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，
则函数F（x）=f（x）-g（x）=x²-5x+4-m在[0，3]上有两个不同的零点，
则

△=(-5)2-4(4-m)＞0 F(0)=02-5×0+4-m F(3)=32-5×3+4-m

，解得-

9

4

＜m≤-2，
即m的范围为[-

9

4

，-2]．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求二次函数在闭区间上的最值，函数的零点的定义和求法，属于
中档题．