Question

对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”．设函数f（x）的定义域为R⁺，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2¹⁰）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k（2-x），求f（x）在区间[1，2²ⁿ）（n∈N^*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由． ①f（2^-n）与2^-n+2（n∈N^*）；②f（x）与2x+2（x∈（2^-n，2^1-n]，n∈N^*）．

Answer 1

解：（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，即f（2x）=f（x）+1恒成立，整理f（2x）-f（x）=1，令x=2^k，则f（2^k+1）-f（2^k）=1，
所以f（2），f（4），f（8），…f（2ⁿ）构成公差为1的等差数列，
令x=1得f（2）=f（1）+1=4，所以f（2ⁿ）=4+（n-1）×1=n+3
所以f（2¹⁰）=10+3=13；
（2）x∈[1，2）时，f（x）=k（2-x），令x=1，则f（1）=k=3，即当x∈[1，2）时，f（x）=3（2-x），所以f（x）在[1，2）上的取值范围是（0，3]，
又（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，即f（2x）=-2f（x）恒成立，当x∈[2^k-1，2^k）（k∈N^*）时，∈[1，2），f（x）=-2=…=，
∴故当k为奇数时，f（x）在[2^k-1，2^k）上的取值范围是（0，3×2^k-1]
当k为偶数时，f（x）在[2^k-1，2^k）上的取值范围是[-3×2^k-1，0）
所以，f（x）在区间[1，2²ⁿ）上的最大值为3×2^2n-2，最小值为-3×2^2n-1．
（3）①（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，可知f（2x）=2f（x）-2恒成立．
即f（x）=f（2x）+1恒成立
令x=，则f（）=+1
∴=[]
∵=f（1）-2=1
∴{}是一个等比数列，
∴
∴f（2^-n）=2^-n+2
②当x∈[2^-n，2^1-n]时，由f（x）是增函数，故f（x）≤f（2^1-n）=2^1-n+2
∵x＞2^-n，∴2x+2＞2^1-n+2，∴f（x）＜2x+2．
分析：（1）由已知，f（2x）=f（x）+1恒成立，整理f（2x）-f（x）=1，令x=2^k，则f（2^k+1）-f（2^k）=1，{f（2^k）}是等差数列，利用通项公式求解；
（2）先确定f（x）在[1，2）上的取值范围是（0，3]，再利用f（2x）=-2f（x）恒成立，当x∈[2^k-1，2^k）（k∈N^*）时，∈[1，2），f（x）=-2=…=，即可得出结论；
（3）①f（x）=f（2x）+1恒成立，令x=，则f（）=+1，可得{}是一个等比数列，可得结论；
②当x∈[2^-n，2^1-n]时，由f（x）是增函数，故f（x）≤f（2^1-n）=2^1-n+2，从而可得结论．
点评：本题考查利用新定义分析问题、解决问题的能力．考查转化计算，分类讨论、构造能力及推理论证能力，思维量大，属于难题．