Question

1．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ（n∈N⁺）展开式的前三项系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求这个展开式的一次项．

Answer 1

分析 （1）先求出）（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ（n∈N⁺）展开式的通项公式，根据三项系数成等差数列可得2•n•$\frac{1}{2}$=1+${C}_{n}^{2}$•$\frac{1}{4}$，从而求得n的值．
（2）令x的幂指数等于1，求得r的值，可得这个展开式的一次项．

解答 解：（1）（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ（n∈N⁺）展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{n}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{n-r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${（\frac{1}{\root{4}{x}}）}^{r}$=${C}_{n}^{r}$•2^-r•${x}^{\frac{2n-3r}{4}}$，
根据前三项系数成等差数列可得2•n•$\frac{1}{2}$=1+${C}_{n}^{2}$•$\frac{1}{4}$，即 （n-1）（n-8）=0，求得n=8或n=1（舍去）．
（2）令$\frac{16-3r}{4}$=1，可得r=4，
故这个展开式的一次项为 ${C}_{8}^{4}$•2^-4•x=$\frac{35}{8}$•x．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．