Question

4．已知函数f（x）=（x²+ax+b）（e^x-e），a，b∈R，当x＞0时，f（x）≥0，则实数a的取值范围为（　　）

• A． -2≤a≤0
• B． -1≤a≤0
• C． a≥-1
• D． 0≤a≤1

Answer 1

分析 设g（x）=x²+ax+b，h（x）=e^x-e，根据当x＞0时f（x）≥0，判断两个函数的符号关系得到g（x）必需过点（1，0）点，建立a，b的关系，根据图象和一元二次函数根的关系，列出不等式求解即可．

解答 解：设g（x）=x²+ax+b，h（x）=e^x-e，
则h（x）在（0，+∞）上为增函数，且h（1）=0，
若当x＞0时f（x）≥0，则满足当x＞1时，g（x）≥0，
当0＜x＜1时，g（x）≤0，
即g（x）必需过点（1，0）点，
则g（1）=1+a+b=0，即b=-1-a，
此时函数g（x）与h（x）满足如图所示：
此时g（x）=x²+ax-1-a=（x-1）[x+（a+1）]，
则满足函数g（x）的另外一个零点-a-1≤0，
即a≥-1，
故选：C．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数转化为两个函数的符号相反，利用数形结合是解决本题的关键．