Question

如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。
（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；
（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。  

Answer 1

解：建立如图所示的直角坐标系，
⊙O的方程为，
直线L的方程为。
（Ⅰ）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为，
∴，。
将x=4代入，得。
∴MN的中点坐标为（4，0），MN=。
∴以MN为直径的圆的方程为。
同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是。
（Ⅱ）设点P的坐标为，∴（），∴。
∵，
将x=4代入，得，
。∴，MN=。
MN的中点坐标为。
以MN为直径的圆截x轴的线段长度为
为定值。
∴⊙必过⊙O 内定点。

略