Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

2

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P的坐标为（2，

3

），且F₂在线段PF₁的中垂线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如果圆E：（x-

1

2

）²+y²=r²被椭圆C所覆盖，求圆的半径r的最大值．

Answer 1

分析：（1）由椭圆C的离心率e=

2

2

和点F₂在线段PF₁的中垂线上知|F₁F₂|=|PF₂|，由此推出(2c)2=(

3

)2+(2-c)2，从而可求出椭圆C的方程．
（2）设P（x₀，y₀）是椭圆C上任意一点，则

x 2 0

2

+

y

2 0

=1，|PE|=

( x   0 - 1 2 )2+ y 2 0

，由此可求出圆的半径r的最大值．

解答：解：（1）椭圆C的离心率e=

2

2

，得

c

a

=

2

2

，
其中c=

a2-b2

，椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），又点F₂在线段PF₁的中垂线上，
∴|F₁F₂|=|PF₂|，∴(2c)2=(

3

)2+(2-c)2，
解得c=1，a²=2，b²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）设P（x₀，y₀）是椭圆C上任意一点，
则

x 2 0

2

+

y

2 0

=1，|PE|=

( x   0 - 1 2 )2+ y 2 0

，∵

y

2 0

=1-

x 2 0

2

，
∴|PE|=

( x   0 - 1 2 )2+1- x 2 0 2

=

1 2 x 2 0 - x   0 + 5 4

（-

2

≤

x

0

≤

2

）．
当x₀=1时，|PE|_min=

1 2 -1+ 5 4

=

3

2

，
∴半径r的最大值为

3

2

．

点评：本题综合考查椭圆的性质和圆的知识，解题时要仔细审题，认真计算．