Question

对正整数n，设抛物线y²=2（2n+1）x，过P（2n，0）任作直线l交抛物线于A_n，B_n两点，则数列{

OA n• OB n

2(n+1)

}的前n项和公式是

 

．

Answer 1

分析：设A_n（x_n1，y_n1），B（x_n2，y_n2），直线方程为x=ty+2n，代入抛物线方程得y²-2（2n+1）ty-4n（2n+1）=0，求出

OAn

•

OBn

的表达式，然后利用韦达定理代入得

OAn

•

OBn

=-4n²-4n，故可得

OA n• OB n

2(n+1)

=-2n，据此可得数列{

OA n• OB n

2(n+1)

}的前n项和．

解答：解：设直线方程为x=ty+2n，代入抛物线方程得y²-2（2n+1）ty-4n（2n+1）=0，
设A_n（x_n1，y_n1），B（x_n2，y_n2），
则

OAn

•

OBn

=xn1xn2+yn1yn2=(t2+1)yn1yn2+2nt(yn1+yn2)+4n2，
用韦达定理代入得

OAn

•

OBn

=-4n(2n+1)(t2+1)+4n(2n+1)t2+4n2=-4n2-4n，
故

OA n• OB n

2(n+1)

=-2n，
故数列{

OA n• OB n

2(n+1)

}的前n项和-n（n+1），
故答案为-n（n+1）．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题的知识点，向量与圆锥曲线，数列结合时，一般使用向量的坐标运算与方程的根联系起来，从而转化为根与系数的关系．这是处理向量与圆锥曲线综合问题的基本思路．