Question

12．在△ABC中，内角A，B，C的对边的边长分别为a，b，c，已知c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$．
（1）求△ABC的周长l的最大值；
（2）若2sin2A+sin（2B+C）-sinC=0，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由题意可得△ABC的周长=a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinA═$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），结合A的范围可得答案．
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinAcosA=sinBcosA，当cosA=0时，可得A=$\frac{π}{2}$，可求B，b，利用三角形面积公式即可得解；当cosA≠0时，由正弦定理解得b=2a，利用余弦定理可求a，b，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}=2$，
∴可得b=2sinB，a=2sinA，
∴△ABC的周长l=a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinA，
=$\sqrt{3}$+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）+2sinA
=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]
∴当sin（A+$\frac{π}{6}$）=1时，△ABC的周长l=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）取最大值3$\sqrt{3}$．
（2）∵2sin2A+sin（2B+C）-sinC=0，
⇒2sin2A=sin（A+B）-sin（B-A+π）
⇒2sin2A=sin（A+B）+sin（B-A）
⇒2sinAcosA=sinBcosA，
∴当cosA=0时，可得A=$\frac{π}{2}$，由c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$．故B=$\frac{π}{6}$，可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}×$$\frac{csinB}{sinC}$×c=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
当cosA≠0时，可得2sinA=sinB，由正弦定理可得：b=2a，由c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理可得：3=a²+b²-ab=3a²，解得：a=1，b=2，可求S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的最值，三角形面积公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．