Question

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1交于不同的两点A、B．
（1）求实数k的取值范围；
（2）双曲线C的右焦点F，是否存在实数k，使得以AF⊥BF？若存在，求出k的值．若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²-y²=1后，由题意知 k²-2≠0，△=（2k）²-8（k²-2）＞0，由此可知实数k的取值范围．
（2）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由题意 AF⊥BF为（k²+1）x₁x₂+（k-c）（x₁+x₂）+c²+1=0利用韦达定理列出关于k的方程，可求出k的值．

解答：解：（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²-y²=1后，整理得（k²-2）x²+2kx+2=0．…①（2分）
依题意，直线l与双曲线C交于不同两点，则
k²-2≠0，△=（2k）²-8（k²-2）＞0，
解得k的取值范围为-2＜k＜2．（4分）
（2）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则由①得
x1+x2=

2k

2-k2

，x1•x2=

2

k2-2

．…②（6分）
假设存在实数k，使得以AF⊥BF得（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=0．                      （7分）
既（x₁-c）（x₂-c）+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．
整理得（k²+1）x₁x₂+（k-c）（x₁+x₂）+c²+1=0．…③（8分）
把②式及c=

6

2

代入③式化简得5k2+2

6

k-6=0．
解得k=-

6+ 6

5

或k=

6- 6

5

（10分）
存在实数k=-

6+ 6

5

或k=

6- 6

5

，使得以AF⊥BF

点评：本题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力．