Question

6．（理科）已知函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x（x∈R）
（1）求它的振幅、周期和初相；
（2）求函数的增区间．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，可得振幅、周期和初相
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；

解答 解：函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
化简可得：y=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x+sin2x+3$（\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x）$
=sin2x+cos2x+2
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2
（1）∴振幅为：$\sqrt{2}$，
周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
初相：$\frac{π}{4}$．
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，
解得：$kπ-\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{π}{8}+kπ$，
∴函数的增区间为[$kπ-\frac{π}{8}$，$\frac{π}{8}+kπ$]，（k∈Z）

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质的基本概念的记忆和运用以及化简能力，比较基础．