Question

【题目】如图1，在边长为4的正三角形ABC中，D，F分别为AB，AC的中点，E为AD的中点．将△BCD与△AEF分别沿CD，EF同侧折起，使得二面角A﹣EF﹣D与二面角B﹣CD﹣E的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．
（1）在多面体中，求证：A，B，D，E四点共同面；
（2）求多面体的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为二面角A﹣EF﹣D的大小等于90°，

所以平面AEF⊥平面DEFC，

又AE⊥EF，AE平面AEF，平面AEF∩平面DEFC=EF，

所以AE⊥平面DEFC，

同理，可得BD⊥平面DEFC，

所以AE∥BD，故A，B，D，E四点共同面

（2）解：因为AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，

所以AE是四棱锥A﹣CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD，

又 ， ，

所以

【解析】（1）推导出AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，从而AE∥BD，由此能证明A，B，D，E四点共同面．（2）求出AE是四棱锥A﹣CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，多面体的体积V=VA﹣CDEF+VA﹣BCD，由此能求出结果．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的性质的相关知识，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行．