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若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的个数是(  )
①ab≤1;        ②
a
+
b
≤2
;    ③a2+b2≥2;       ④a3+b3≥3;    ⑤
1
a
+
1
b
≥2
分析:题目给出了两个和为常数2的正数a,b,我们可以借助于基本不等式及其变形式直接推导出其中①③⑤是正确的,②④可以通过举反例说明不正确.
解答:解:由a>0,b>0,a+b=2,则ab≤(
a+b
2
)2=(
2
2
)2=1
(当且仅当a=b=1时等号成立),所以,①正确;
a+b
2
a2+b2
2
,所以,
a
+
b
2
a+b
2
=
2
2
=1
,所以,
a
+
b
≤2
,所以,②正确;
a2+b2=
2a2+2b2
2
a2+2ab+b2
2
=
(a+b)2
2
=
22
2
=2
(当且仅当a=b=1时等号成立),所以,③正确;
若a=b=1,满足a>0,b>0,a+b=2,但a3+b3=13+13=2<3,所以,④不正确;
因为
1
a
+
1
b
≥2
1
ab
=
2
ab
,而
ab
a+b
2
=
2
2
=1
,则
1
ab
≥1

所以
1
a
+
1
b
2
ab
≥2
(当且仅当a=b=1时等号成立),所以,⑤正确.
所以,正确的是①②③⑤.
故选D.
点评:本题考查了基本不等式,考查了不等式的变形,考查了举反例剔除法,运用基本不等式解决问题时一定要注意使用条件,此题是中档题.
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若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是
 
(写出所有正确命题的编号).
①ab≤1;
a
+
b
2

③a2+b2≥2;
④a3+b3≥3;
1
a
+
1
b
≥2

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[  ]

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[  ]
A.

由“若a∈R,则a2=|a|2”类比推出“若a∈C,则a2=|a|2”;

B.

由“若a,b∈R,且a-b=0,则a=b”类比推出“若,且,则”;

C.

“若a,b∈R,且a2+b2=0,则a=0且b=0”类比推出“若a,b∈C,且a2+b2=0,则a=0且b=0”;

D.

“若a,b∈R,且a·b=0,则a=0或b=0”类比推出“若,且,则

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若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是______(写出所有正确命题的编号).
①ab≤1;
a
+
b
2

③a2+b2≥2;
④a3+b3≥3;
1
a
+
1
b
≥2

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