Question

我们把y=x^m（m∈Q）叫做幂函数．幂函数y=x^m（m∈Q）的一个性质是：当m＞0时，在（0，+∞）上是增函数；当m＜0时，在（0，+∞）上是减函数．设幂函数f（x）=xⁿ（n≥2，n∈N）．
（1）若g_n（x）=f（x）+f（a-x），x∈（0，a），证明：
（2）若g_n（x）=f（x）-f（x-a），对任意n≥a＞0，证明：g_n′（n）≥n!a

Answer 1

证明（1）∵g_n（x）=f（x）+f（a-x）=xⁿ+（a-x）ⁿ，
∴g_n′（x）=nx^n-1+n（a-x）^n-1（-1）=n[x^n-1-（a-x）^n-1]
令g_n′（x）=0，得x^n-1=（a-x）^n-1，又x∈（0，a）．
根据幂函数的单调性，得x=a-x，即，由下表：

∴
又g_n（x）在x=0，x=a处连续，且g_n（0）=g_n（a）=aⁿ，
故．

（2）∵g_n（x）=f（x）-f（x-a）=xⁿ-（x-a）ⁿ，
∴g_n′（x）=n[x^n-1-（x-a）^n-1]，
∵当x≥a＞0时，g_n′（x）＞0，∴x≥a＞0时，g_n（x）是关于x的增函数，
∴当n≥a时，（n+1）ⁿ-（n+1-a）ⁿ＞nⁿ-（n-a）ⁿ．
∴g_n+1′（n+1）=（n+1）[（n+1）ⁿ-（n+1-a）ⁿ]＞（n+1）[nⁿ-（n-a）ⁿ]＞（n+1）[nⁿ-n（n-a）^n-1]
=（n+1）n[n^n-1-（n-a）^n-1]=（n+1）g_n′（n）
于是＞n+1，而g₂′（2）=2[2^2-1-（2-a）^2-1]=2a
当n≥3时，g_n^′（n）=•…•g₂^′（2）＞n×（n-1）×…×3×2a=n!a，
又n=2时，g₂′（2）=2[2^2-1-（2-a）^2-1]=2!a
故n≥2，n∈N时，有g_n′（n）≥n!a
分析：（1）由已知求g_n（x）的值域，首先求g_n′（x），在利用g_n′（x）＞0，g_n′（x）＜0分别求出函数的单调递增区间和单调递减区间，得到函数的极值点x=，进而得到函数的最值，即可以得到函数的值域．
（2）当x≥a＞0时，g_n′（x）=n[x^n-1-（x-a）^n-1]＞0，g_n（x）是关于x的增函数，当n≥a时，得（n+1）ⁿ-（n+1-a）ⁿ＞nⁿ-（n-a）ⁿ．
进而得＞n+1，（*），根据（*）式可以构造等式g_n^′（n）=•…•g₂^′（2）＞n×（n-1）×…×3×2a=n!a，又g₂′（2）=2[2^2-1-（2-a）^2-1]=2!a，故n≥2，n∈N时，有g_n′（n）≥n!a
点评：本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本的函数知识，对（2）最关键的地方，是善于观察，结合平时的总结经验，构造等式g_n^′（n）=•…•g₂^′（2），进而得到结果．这道题的结论中出现n!，这时我们要能够想到构造类似的等式，这都是平时的总结经验，只有平时多总结、探索，才能在实战中，做到举一反三．