Question

如图，在△ABC中，sin

∠ABC

2

=

3

3

，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=

4 3

3

，则cosC=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos∠ABC的值，设BC=a，AC=3b，由AD=2DC得到AD=2b，DC=b，在三角形ABC中，利用余弦定理得到关于a与b的关系式，在三角形ABD和三角形DBC中，利用余弦定理分别表示出cos∠ADB和cos∠BDC，由于两角互补，得到cos∠ADB等于-cos∠BDC，两个关系式互为相反数，得到a与b的另一个关系式，求出a．，b即可得到结论．

解答： 解：因为sin

∠ABC

2

=

3

3

，所以cos∠ABC=1-2sin²

∠ABC

2

=1-2×（

3

3

）²=1-2×

1

3

=

1

3

，
在△ABC中，设BC=a，AC=3b，
由余弦定理可得9b2=a2+4-

4

3

a：①
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：cos∠ADB=

4b2+ 16 3 -4

16 3 3 b

，
cos∠BDC=

b2+ 16 3 -a2

8 3 3 b

，
因为cos∠ADB=-cos∠BDC，所以有

4b2+ 16 3 -4

16 3 3 b

-

b2+ 16 3 -a2

8 3 3 b

，
所以3b²-a²=-6 ②
由①②可得a=3，b=1，即BC=3，AC=3．
则cosC=

AC2+BC2-AB2

2AC•BC

=

32+32-22

2×3×3

=

7

9

，
故答案为：

7

9

点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及余弦定理化简求值，有一定的难度．