Question

在二项式(

x

-

2

x

)n的展开式中，各项的二项式系数之和与各项系数和之比为64．（ n∈N*）
（1）求n值；
（2）求展开式中的常数项．

Answer 1

分析：（1）各项的二项式系数之和为2ⁿ ，令x=1可得各项系数和为（-1）ⁿ ，由2ⁿ：（-1）ⁿ=64 可得n的值．
（2）根据通项公式Tr+1=(-2)r

C

r 6

x

6-3r

2

，由6-3r=0得r=2，从而得到常数项．

解答：解：（1）各项的二项式系数之和为2ⁿ ，令x=1可得各项系数和为（-1）ⁿ ，
由2ⁿ：（-1）ⁿ=64 可得（-2）ⁿ=64，∴n=6．  （6分）
（2）由（1）知，Tr+1=

C

r 6

(

x

)6-r•(-

2

x

)r=(-2)r

C

r 6

x

6-3r

2

，（10分）
由6-3r=0得r=2，∴展开式中的常数项为（-2）²C₆²=60． （13分）

点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，注意各项的二项式系数之和与各项系数和的区别．