Question

（本小题13分）已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于A、B两点。如果且曲线E上存在点C，使.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）求AB的直线方程；
（Ⅲ）求的值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）。（Ⅲ）。

本试题主要是考查了双曲线方程的求解，以及直线与双曲线的位置关系的综合运用。结合韦达定理和弦长公式，以及向量的坐标关系式，得到参数的求解。
（1）根据双曲线的定义可以得到双曲线的方程的求解。
（2）联立方程组，得到相交弦的长度以及韦达定理得到直线的方程。
(3)根据，得到坐标关系式，结合上一问的结论，可知参数m的等式，得到结论。
解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知

故曲线的方程为……….4分
（Ⅱ） 设，由题意建立方程组
消去，得
又已知直线与双曲线左支交于两点，有
      解得……….6分
又∵

依题意得    整理后得
∴或 但  ∴
故直线的方程为……….9分
（Ⅲ）设，由已知，得
∴，
又，
∴点 将点的坐标代入曲线的方程，得 
得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴，…13分