Question

如图是某筒谐运动的一段图象，其函数模型是f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0），其中A＞0，ω＞0，-＜φ＜．
（1）根据图象求函数y=f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x+）．实数a满足0＜a＜π．且g（x）dx=3．求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由图象可求得A=2，ω=1，从而可得函数的解析式；
（2）由（1）知g（x）=f（x+）=2sinx，利用积分公式可求得g（x）dx=2sinxdx=-2cosx=-2cosπ+2cosa=3，继而可求得a的值．
解答：解：（1）∵A＞0，f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0）知
f（x）_max=A=2，f（x）_min=-A=-2，
∴A=2…2′
由T=-=π，
∴T=2π，又T=（ω＞0）
∴=2π，
∴ω=1…4′
∴函数的解析式为y=f（x）=2sin（x+φ），
由图可知，+φ=2kπ，（也可用+φ=π来解）．
∴φ=-．
∴所求的函数的解析式为y=f（x）=2sin（x-）…6′
（2）由（1）知g（x）=f（x+）=2sinx．
∵g（x）dx=2sinxdx=-2cosx=-2cosπ+2cosa=3，
∴cosa=，又0＜a＜π，
∴a=…12′
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式及定积分的简单应用，关键在于数量掌握求A，ω的方法及定积分公式，属于中档题．