Question

曲线y=2sin(x+

π

4

)cos(x-

π

4

)和直线y=

1

2

在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P₁，P₂，P₃，…，则|P₂P₆|=（　　）

A．π

B．2π

C．3π

D．4π

Answer 1

分析：将y=2sin（x+

π

4

）cos（x-

π

4

）的解析式利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简得y=sin2x+1，令y=

1

2

，解得x=kπ+

3π

4

±

π

6

（k∈N），代入易得|P₂P₆|的值．

解答：解：∵y=2sin（x+

π

4

）cos（x-

π

4

）
=2sin（x-

π

4

+

π

2

）cos（x-

π

4

）
=2cos（x-

π

4

）cos（x-

π

4

）
=cos[2（x-

π

4

）]+1
=cos（2x-

π

2

）+1
=sin2x+1，
若y=2sin（x+

π

4

）cos（x-

π

4

）=

1

2

，
∴2x=2kπ+

3π

2

±

π

3

（k∈N），即x=kπ+

3π

4

±

π

6

（k∈N），
则|P₂P₆|=2π．
故选B

点评：此题考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，直线与曲线的相交的性质，求两个函数图象的交点间的距离，关键是要求出交点的坐标，然后根据两点间的距离求法进行求解．