练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    对于函数y=f（x），若存在开区间D，同时满足：①存在t∈D，当x＜t时，函数f（x）单调递减，当x＞t时，函数f（x）单调递增；②对任意x＞0，只要t-x，t+x∈D，都有f（t-x）＞f（t+x），则称y=f（x）为D内的“勾函数”．
    （1）证明：函数y=|logax|（a＞0，a≠1）为（0，+∞）内的“勾函数”；
    （2）若D内的“勾函数”y=g（x）的导函数为y=g′（x），y=g（x）在D内有两个零点x1，x2，求证：g′(
    x1+x2
    2
    )    ＞0；
    （3）对于给定常数λ，是否存在m，使函数h（x）=
    1
    3
    λx3-
    1
    2
    λ2x2-2λ3x+1在（m，+∞）内为“勾函数”？若存在，试求出m的取值范围，若不存在，说明理由．
    分析：（1）通过对底数a分类讨论，利用对数函数的单调性和“勾函数”的定义即可证明结论；
    （2）利用“勾函数”的定义及已知条件即可证明；
    （3）利用“勾函数”的定义中的两个条件判断是否满足即可．
    解答：解：（1）只证明0＜a＜1．
    设0＜a＜1，则f（x）=
    logax，当0＜x≤1时
    -logax，当x＞1时
    ，
    取t=1，则函数f（x）=logax在区间（0，1]上单调递减；f（x）=-logax在区间（1，+∞）上单调递增，因此满足条件①．
    任取x∈（0，1），则1-x，（1+x）∈（0，+∞），而loga（1-x）-（-loga（1+x））=loga(1-x2)＞0，即满足条件②．
    由以上证明可知：当0＜a＜1时，函数y=|logax|（1＞a＞0，a≠1）为（0，+∞）内的“勾函数”；
    当a＞1时，同理可证．
    综上可知：函数y=|logax|（a＞0，a≠1）为（0，+∞）内的“勾函数”；
    （2）设勾函数y=g（x）的定义域为（a，+∞）（a＞0），且g（x）在区间（a，t）单调递减；在区间（t，+∞）内单调递增；
    因为存在两个零点，设g（x1）=g（x2）=0，不妨设x1＜x2，由题意可得a＜x1＜t＜x2，∴g（t-（t-x1））＞g（t+t-x1），化为g（x1）＞g（2t-x1），
    ∴g（x2）＞g（2t-x1），
    ∵g（x）在区间（t，+∞）内单调递增，∴x2＞2t-x1，∴
    x1+x2
    2
    ＞t    ，
    ∴g′(
    x1+x2
    2
    )＞0    ．
    （3）h′（x）=λ（x-2λ）（x+λ），令h′（x）=0，解得x=2λ或-λ．精英家教网
    ①当λ＞0时，列表如下：
    由表格可知：h（x）在区间（-λ，+∞）上满足“勾函数”的第一个条件；
    但是当0＜x＜2λ时，h（2λ-x）-h（2λ+x）=-
    2
    3
    λx3    ＜0，不满足“勾函数”的第二个条件．
    因此此时函数h（x）表示“勾函数”．
    ②当λ＜0时，不满足“勾函数”的第一个条件．
    故不存在m使函数h（x）=
    1
    3
    λx3-
    1
    2
    λ2x2-2λ3x+1在（m，+∞）内为“勾函数”．
    点评：熟练掌握对数函数的单调性、“勾函数”的定义、利用导数研究函数的单调性是解题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f(x+
    π
    2
    )    为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：
    ①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（-π，0）是它图象的一个对称中心；
    ④当x=
    π
    2
    时，它一定取最大值；其中描述正确的是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列五个命题：
    ①函数y=f（x），x∈R的图象与直线x=a可能有两个不同的交点；
    ②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相等函数；
    ③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2，总存在x0，当x＞x0 时，有2x＞x2成立；
    ④对于函数y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）•f（b）＜0，则f（x）在（a，b）内有零点．
    ⑤已知x1是方程x+lgx=5的根，x2是方程x+10x=5的根，则x1+x2=5．
    其中正确的序号是
    ③⑤
    ③⑤
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•和平区一模）函数y=f（x）是定义在[a，b]上的增函数，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，已知y=f（x）无零点，设F（x）=f2（x）+f2（-x），则对于函数y=F（x）有如下四种说法：①定义域是[-b，b]；②最小值是0；③是偶函数；④在定义域内单调递增．其中正确的说法是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•上海模拟）对于函数y=f（x）的图象上任意两点A（a，f（a）），B（b，f（b）），设点C分
    AB
    的比为λ（λ＞0）．若函数为f（x）=x2（x＞0），则直线AB必在曲线AB的上方，且由图象特征可得不等式
    a2+λb2
    1+λ
    ＞(
    a+λb
    1+λ
    )    2    ．若函数为f（x）=log2010x，请分析该函数的图象特征，上述不等式可以得到不等式
    log2010a+log2010b
    1+λ
    ＜log2010
    a+λb
    1+λ
    log2010a+log2010b
    1+λ
    ＜log2010
    a+λb
    1+λ
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在区间[-3，3]上的函数y=f（x）满足f（-x）+f（x）=0，对于函数y=f（x）的图象上任意两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））都有（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]＜0．若实数a，b满足f（a2-2a）+f（2b-b2）≤0，则点（a，b）所在区域的面积为（　　）
    A、8B、4C、2D、1

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案