Question

已知向量

a

=(sinωx，sinωx)，

b

=(sinωx，

3

coxωx)，其中ω＞0，设函数f（x）=2

a

•

b

，已知f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=log₂f（x），求g（x）的定义域和单调递增区间．
（3）证明：直线x=

5π

6

是g（x）图象的一条对称轴．

Answer 1

分析：（1）先根据向量的数量积运算公式以及两角和与差的正弦函数求出函数f（x）的表达式，再结合f（x）的最小正周期为π求出ω即可得到f（x）的解析式；
（2）先根据真数大于0结合三角函数的图象求出函数的定义域；再结合符合函数的单调性即可求出函数的单调递增区间．（注意是在定义域内）
（3）设

5π

6

+x在g（x）的定义域中，可得

5π

6

-x也在g（x）的定义域中；只需要证明g(

5π

6

+x)=g(

5π

6

-x)即可说明结论．

解答：解：（1）f(x)=2(sin2ωx+

3

sinωx•cosωx)=1-cos2ωx+

3

sin2ωx=2(sin2ωx•

3

2

-cos2ωx•

1

2

)+1=2sin(2ωx-

π

6

)+1
∵ω＞0，
∴T=

2π

2ω

=

π

ω

=π，
∴ω=1，
∴f(x)=2sin(2x-

π

6

)+1
（2）g(x)=log2[2sin(2x-

π

6

)+1]，
由2sin(2x-

π

6

)+1＞0得：sin(2x-

π

6

)＞-

1

2

，
∴2kπ-

π

6

＜2x-

π

6

＜

7π

6

+2kπ
∴kπ＜x＜kπ+

2π

3

(k∈Z)，
即g（x）的定义域为(kπ，kπ+

2π

3

)(k∈Z)
∴2kπ-

π

6

＜2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

⇒kπ＜x≤kπ+

π

3

，
故增区间为(kπ，kπ+

π

3

](k∈Z)．
（3）设

5π

6

+x在g（x）的定义域中，则对一切k∈Z，有kπ＜

5π

6

+x＜kπ+

2π

3

，
∴-kπ-

2π

3

＜-

5π

6

-x＜-kπ
∴(-k+1)π＜

5π

6

-x＜(-k+1)π+

2π

3

(k∈Z)
∴点

5π

6

-x也在g（x）的定义域中．
又 g(

5π

6

+x)=log2(-2cos2x+1)，g(

5π

6

-x)=log2(-2cos2x+1)
∴g(

5π

6

+x)=g(

5π

6

-x)，故g（x）的图象关于直线x=

5π

6

对称．

点评：本题主要考查平面向量数量积的运算以及两角和与差的正弦函数和复合函数单调性的应用．在涉及到对数函数问题时，一定要注意定义域的限定，避免出错．