Question

某研究性学习小组研究函数y＝lnx上的点P(x，y)与原点O的连线所在的直线的斜率k的值的变化规律．记直线OP的斜率k＝f(x)．

(Ⅰ)某同学甲发现：点P从左向右运动时，f(x)不断增大，试问：他的判断是否正确？若正确，请说明理由：若不正确，请给出你的正确判断；

(Ⅱ)某同学乙发现：总存在正实数a、b(a＜b)，使a^b＝b^a．试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由：若正确，请求出a的取值范围；

(Ⅲ)某同学丙发现：当x＞0时，函数k＝f(x)的图像总在函数的图像的下方，试问：他的判断是否正确？若正确，请说明理由：若不正确，请给出你的正确判断；

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)某同学甲的判断不正确 　　依题意，， 　　当时，；当时， 　　所以，在上递增，在上递减　4分 　　(2)同学乙的判断正确 　　∵当时， 　　且()，又由(1)得 　　的图像如下图所示 　　所以总存在正实数a、且， 　　使得即也就是ab＝ba， 　　此时实数a的取值范围为(1，e)　9分 　　(3)同学丙的判断正确：问题等价于求证：当x＞1时，成立 　　(法一)，记 　　 　　所以g(x)在(1，＋∞)上为减函数，则， 　　所以，即 　　∴当x＞1时，函数的图像总在函数的图像的下方　14分 　　(法二)即要证，即证 　　记，有，且， 　　记，有 　　当时，，在上递减，则 　　∴，则在上递减， 　　即当时，成立 　　当x＞1时，函数的图像总在函数的图像的下方　14分