Question

【题目】如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．

（1）求证：BC⊥平面ACD；
（2）求几何体D﹣ABC的体积．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：

【证法一】：在图1中，由题意知， ，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC

取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，

且平面ADC∩平面ABC=AC，DO平面ACD，从而OD⊥平面ABC，

∴OD⊥BC

又AC⊥BC，AC∩OD=O，

∴BC⊥平面ACD

【证法二】：在图1中，由题意，得 ，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC

∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC面ABC，∴BC⊥平面ACD

（2）

解：由（1）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，且 ，S△ACD= ×2×2=2，

所以三棱锥B﹣ACD的体积为： ，

由等积性知几何体D﹣ABC的体积为： ．

【解析】（1）解法一：由题中数量关系和勾股定理，得出AC⊥BC，再证BC垂直与平面ACD中的一条直线即可，△ADC是等腰Rt△，底边上的中线OD垂直底边，由面面垂直的性质得OD⊥平面ABC，所以OD⊥BC，从而证得BC⊥平面ACD；
解法二：证得AC⊥BC后，由面面垂直，得线面垂直，即证．（2），由高和底面积，求得三棱锥B﹣ACD的体积即是几何体D﹣ABC的体积．