Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足（2c-a）•cosB-bcosA=0．
（1）若b=4，a+c=8，求△ABC的面积；
（2）求

3

sinA+sin(C-

π

6

)的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理化简题中等式，结合诱导公式与两角和的正弦公式，整理得sinC（2cosB-1）=0．根据sinC＞0，解出cosB=

1

2

，结合B∈（0，π）得B=

π

3

．利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，结合题中条件解出ac=16，即可算出△ABC的面积；
（2）由（1）的结论得C=

2π

3

-A，代入原式并利用三角恒等变换化简，可得

3

sinA+sin(C-

π

6

)=2sin(A+

π

6

)，再根据A∈(0，

2π

3

)利用正弦函数的图象与性质加以计算，可得

3

sinA+sin(C-

π

6

)的取值范围．

解答：解：（1）∵（2c-a）•cosB-bcosA=0，
∴根据正弦定理，得（2sinC-sinA）•cosB-sinBcosA=0
整理得2sinCcosB-sin（A+B）=0，
∵在△ABC中，sin（A+B）=sinC，∴sinC（2cosB-1）=0，
由于C∈（0，π），可得sinC＞0，
∴2cosB-1=0，得cosB=

1

2

，结合B∈（0，π）得B=

π

3

．
根据余弦定理，得
b2=a2+c2-2accos

π

3

=(a+c)2-3ac，即4²=8²-3ac，解之得ac=16．
因此，△ABC的面积S=

1

2

acsinB=4

3

．
（2）由（1）得C=π-A-B=

2π

3

-A，
∴

3

sinA+sin(C-

π

6

)=

3

sinA+sin(

π

2

-A)=

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)，
∵A∈(0，

2π

3

)，可得A+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，∴sin(A+

π

6

)∈[

1

2

，1]，
由此可得

3

sinA+sin(C-

π

6

)=2sin(A+

π

6

)∈(1，2]，
即

3

sinA+sin(C-

π

6

)的取值范围（1，2]．

点评：本题给出三角形的边角关系，求角的大小并依此求三角函数式的取值范围．着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角恒等变换与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．