Question

【题目】已知函数f（x）=a（x+ ）+blnx（其中a，b∈R）
（Ⅰ）当b=﹣4时，若f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a=﹣1时，是否存在实数b，使得当x∈[e，e2]时，不等式f（x）＞0恒成立，如果存在，求b的取值范围，如果不存在，说明理由（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）= ，
若f（x）在其定义域内递增，
则a≥ = =1，
故a≥1，
若若f（x）在其定义域内递减，
则a≤ = ，
x+ →+∞时， →0，
故a≤0；
综上，a≤0或a≥1；
（Ⅱ）f（x）=﹣（x+ ）+blnx＞0在x∈[e，e2]时恒成立，
即b＞ 在x∈[e，e2]时恒成立，
令h（x）= ，x∈[e，e2]，
h′（x）= ，
令 =t，则t∈[ ， ]，
∴ + =t2+2t∈[ + ， + ]，
∴lnx﹣（ + ）＞0，h′（x）＞0恒成立，
h（x）在[e，e2]递增，
∴h（x）max=h（e2）=
∴b＞
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为则a≥ ，或a≤ ，求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为b＞ 在x∈[e，e2]时恒成立，令h（x）= ，x∈[e，e2]，根据函数的单调性求出b的范围即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．