【题目】已知函数.
(1)若f (x)在区间(-∞,2)上为单调递增函数,求实数a的取值范围;
(2)若a=0,x0<1,设直线y=g(x)为函数f (x)的图象在x=x0处的切线,求证:f (x)≤g(x).
【答案】(1);(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出函数的导函数,通过对恒成立,推出,即可求出的范围;(2)利用,化简,通过函数在处的切线方程为,讨论当时, ;当时,利用分析法证明;构造函数 ,求出,构造新函数,利用公式的导数求解函数的最值,然后推出结论.
试题解析:(1)解 易知f ′(x)=-,
由已知得f ′(x)≥0对x∈(-∞,2)恒成立,
故x≤1-a对x∈(-∞,2)恒成立,∴1-a≥2,∴a≤-1.
即实数a的取值范围为(-∞,-1].
(2)证明 a=0,则f (x)=.
函数f (x)的图象在x=x0处的切线方程为y=g(x)=f′(x0)(x-x0)+f (x0).
令h(x)=f (x)-g(x)=f (x)-f ′(x0)(x-x0)-f (x0),x∈R,
则h′(x)=f ′(x)-f ′(x0)=-=.
设φ(x)=(1-x)ex0-(1-x0)ex,x∈R,
则φ′(x)=-ex0-(1-x0)ex,∵x0<1,∴φ′(x)<0,
∴φ(x)在R上单调递减,而φ(x0)=0,
∴当x<x0时,φ(x)>0,当x>x0时,φ(x)<0,
∴当x<x0时,h′(x)>0,当x>x0时,h′(x)<0,
∴h(x)在区间(-∞,x0)上为增函数,在区间(x0,+∞)上为减函数,
∴x∈R时,h(x)≤h(x0)=0,
∴f (x)≤g(x).
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【题目】若函数同时满足:(1)对于定义域上的任意,恒有;(2)对于定义域上的任意,,当时,恒有,则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中:①; ②; ③;④,则被称为“理想数”的有________(填相应的序号).
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【题目】在棱长为1的正方体中,点是对角线上的动点(点与不重合),则下列结论正确的是____.
①存在点,使得平面平面;
②存在点,使得平面;
③的面积不可能等于;
④若分别是在平面与平面的正投影的面积,则存在点,使得.
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【题目】已知抛物线的焦点为F,F关于原点的对称点为P,过F作轴的垂线交抛物线于M,N两点,给出下列三个结论:
①必为直角三角形;
②直线必与抛物线相切;
③的面积为.其中正确的结论是___.
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【题目】已知椭圆方程为,射线与椭圆的交点为M,过M作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A,B两点(异于M).
(1)求证:直线AB的斜率为定值;
(2)求面积的最大值。
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【题目】如图,点在抛物线外,过点作抛物线的两切线,设两切点分别为,,记线段的中点为.
(Ⅰ)求切线,的方程;
(Ⅱ)证明:线段的中点在抛物线上;
(Ⅲ)设点为圆上的点,当取最大值时,求点的纵坐标.
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【题目】甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求),每小时可获得利润是元.
(1)要使生产该产品小时获得的利润不低于元,求的取值范围;
(2)要使生产千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
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【题目】如图,四棱锥中, 为等边三角形,且平面平面, , , .
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)若棱锥的体积为,求该四棱锥的侧面积.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】【试题分析】(I) 取的中点为,连接,.利用等腰三角形的性质和矩形的性质可证得,由此证得平面,故,故.(II) 可知是棱锥的高,利用体积公式求得,利用勾股定理和等腰三角形的性质求得的值,进而求得面积.
【试题解析】
证明:(Ⅰ)取的中点为,连接,,
∵为等边三角形,∴.
底面中,可得四边形为矩形,∴,
∵,∴平面,
∵平面,∴.
又,所以.
(Ⅱ)由面面,,
∴平面,所以为棱锥的高,
由,知,
,
∴.
由(Ⅰ)知,,∴.
.
由,可知平面,∴,
因此.
在中,,
取的中点,连结,则,,
∴ .
所以棱锥的侧面积为.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知圆经过椭圆: 的两个焦点和两个顶点,点, , 是椭圆上的两点,它们在轴两侧,且的平分线在轴上, .
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)证明:直线过定点.
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