【题目】已知函数,,其中.
(I)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)证明: 在区间上恰有2个零点.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出在的导数即可得切线的斜率,也就得到在处切线方程.(Ⅱ)先研究函数的单调性,其导数为,当时,利用三角函数的符号可以判断出,当时,导数有唯一的零点且为函数的极大值点.结合, 可以判断在存在一个零点,在上存在一个零点,故在上存在两个不同的零点.
解析:(Ⅰ)当时, ,所以,故,又,故曲线在的切线方程为.
(Ⅱ).
当时,因为,故,所以在是单调增函数;
当时, ,令,此方程有唯一解.
当时, , 在上是单调增函数;
当时, , 在上是单调减函数;
因为的图像是不间断的,所以在上是单调增函数,在上是单调减函数. 又, ,而,故,根据零点存在定理和的单调性可知在存在一个零点,在上存在一个零点,故在上存在两个不同的零点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司为推广线下分店,计划在市的区开设分店.为了确定在该区开设分店的个数,该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记表示在各区开设分店的个数, 表示这个分店的年收入之和.
(个) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
(百万元) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 6 |
(Ⅰ)该公司已经过初步判断,可用线性回归模型拟合与的关系,求关于的线性回归方程;
(Ⅱ)假设该公司在区获得的总年利润(单位:百万元)与之间的关系为,请结合(Ⅰ)中的线性回归方程,估算该公司应在区开设多少个分店,才能使区平均每个分店的年利润最大?
参考公式:
, , .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(2017·黄冈质检)设等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,前n项和为Sn.若对任意的n∈N*,有S2n<3Sn,则q的取值范围是( )
A. (0,1] B. (0,2)
C. [1,2) D. (0, )
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)
(1)能否由的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关?
(附:
当时,有的把握说事件与有关;当,认为事件与是无关的)
(2)已知既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中,有名男同学, , , , , 名女同学, , .现从这名男同学和名女同学中各随机选人,求被选中且未被选中的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.
(1)若平面ABCD⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值;
(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.
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