Question

命题：
（1）若f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函数，其定义域是[a-1，2a]，则f（x）在区间(-

2

3

，-

1

3

)是减函数．
（2）如果一个数列{a_n}的前n项和Sn=abn+c，(a≠0，b≠1，c≠1)则此数列是等比数列的充要条件是a+c=0．
（3）曲线y=x³+x+1过点（1，3）处的切线方程为：4x-y-1=0．
（4）已知集合P∈{（x，y）|y=k}，Q∈{（x，y）|y=a^x+1，a＞0且a≠1}，若P∩Q只有一个子集．则k＜1．
以上四个命题中，正确命题的序号是

（1）（2）

．

Answer 1

分析：根据函数奇偶性的定义和二次函数单调性的结论，得到（1）正确；根据等比数列的通项与性质，结合已知S_n求的a_n方法，通过正反论证可得（2）正确；曲线y=x³+x+1过点（1，3）处的切线方程为：4x-y-1=0或7x-4y+3=0，故（3）不正确；p∩Q只有一个子集，说明p∩Q是空集，集合Q中，y=a^x+1＞1，（a＞0且a≠1）故k≤1时，P∩Q=∅，故（4）不正确．

解答：解：（1）∵偶函数的定义域关于原点对称，
∴a-1+2a=0，a=

1

3

，
∵f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函数，∴b=0，
∴f（x）=

1

3

x2+1，
∴f（x）在区间(-

2

3

，-

1

3

)是减函数，故（1）正确；
（2）数列{a_n}的前n项和S_n=abⁿ+c，
可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=ab^n-1（b-1），
当n=1时，a₁=S₁=ab+c，
接下来讨论充分性与必要性，
若a+c=0，则ab+c=a（b-1）=ab^1-1（b-1），
可得数列的通项为a_n=a（b-1）b^n-1，
∵a≠0，b≠0，b≠1，
∴数列{a_n}构成以a（b-1）为首项，公比为b的等比数列．故充分性成立；
反之，若此数列是等比数列，得
∵当n≥2时，a_n=ab^n-1（b-1），公比为b
∴a₂=ab¹（b-1）=ba₁=b（ab+c）
∴-ab=bc⇒b（a+c）=0
∵b≠0，
∴a+c=0，故必要性成立，说明（2）正确；
（3）∵y=x³+x+1，∴y′=3x²+1，
∴y=x³+x+1在（x0，x03+x0+1）处的切线方程为：
y-x03-x0-1=（3x02+1）（x-x₀），
∵点（1，3）在切线上，
∴3-x03-x0-1=（3x02+1）（1-x₀），
解得x0=

1

2

，或x₀=1，
∴曲线y=x³+x+1过点（1，3）处的切线方程为：4x-y-1=0或7x-4y+3=0，故（3）不正确；
（4）p∩Q只有一个子集，说明p∩Q是空集，
集合Q中，y=a^x+1＞1，（a＞0且a≠1）
故k≤1时，P∩Q=∅，故（4）不正确．
故答案为：（1）（2）．

点评：本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，注意函数性质、等比数列、切线方程、集合等知识点的灵活运用．